「Bille」は、史上初の単安定四面体、つまり4つの三角形の面を持つピラミッドのような形状で、安定した静止位置が1つあります。つまり、Billeはどのように投げても、どのように着地しても、常に全く同じ面で裏返るということです。
arXivに投稿された最近のプレプリント論文で、数学者たちはBilleの初の物理モデルを公開し、著名な英国の数学者ジョン・コンウェイが提唱した数十年前の理論に終止符を打った。軽量のカーボンファイバーと高密度のタングステンカーバイドで作られたBilleは、途方もなく高度な工学的判断の積み重ねを体現しており、数学的成果であると同時に技術的な成果でもある。
そのため、その自己復原性が宇宙飛行業界にとっていくつかの刺激的な用途を示唆していることは驚くことではありません。宇宙飛行業界では最近、月着陸船が転倒する 着陸事故が2 件発生しました。
コンウェイは当初、四面体の各面にかかる重量が不均一に分散されている場合、常に同じ側に反転するだろうと推測していましたが、数年後、コンウェイ自身もこの考えを否定しました。しかし、一部の数学者はまだこの考えに何らかの根拠があると考えていました。例えば、研究の共著者であるロバート・ドーソンは、1980年代に鉛箔と竹の棒を使ってコンウェイの正しさをほぼ証明しました。
「でも、私の記憶では、これがほぼ機能したのは角運動量のおかげだったと思います」と、現在カナダのセントメアリーズ大学で数学者を務めるドーソン氏はギズモードに語った。「車が道路の凹凸にぶつかり、すでに走行中であれば、角運動量のおかげで乗り越えられるでしょう。しかし、その凹凸にぶつかって発進するのは、おそらく難しいでしょう。」
理想的には、単安定四面体は「底」側に戻るのにもう一度押す必要はないはずだ。しばらくの間、コンウェイの理論は、とてもクールだがあり得ない数学的アイデアの箱に収まると思われていた。ところが約3年前、ブダペスト工科経済大学の数学者ガボール・ドモコスと彼の学生ゲルゴ・アルマディがドーソンに連絡を取った。幾何学における難しいバランス問題の長年の専門家であるドモコスは、既にゴンボックを発見していた。ゴンボックとは、起き上がりこぼしのように2点だけでバランスをとる丸い物体だ。
ゴンボックは印象的な発見である一方、そのほぼ円形で多面的なデザインは、比較的容易に自己バランスを保つことができる条件を備えていると、ドモコス氏はギズモードに語った。図形の面数が少なく、各面の角度が小さいほど、その図形を単安定状態にするのは難しくなると、同氏は述べた。
一般的な6面サイコロを想像してみてください。「公平なサイコロであれば、すべての面に等確率で止まります」とドモコス氏は説明します。たとえ誰かが不正行為をして、サイコロのいくつかの面に余分な重りを置くなど改造したとしても、確率はわずかに変化しますが、それでもすべての面に止まる可能性は依然としてあるはずです。
その意味では、尖った角と 4 つの側面にわたる小さな鋭角を持つ四面体は、何らかの工学上の奇跡がない限り、単安定性の点から見ると「最も困難な問題、最高のカテゴリー」の図形になります。
それは実際に起こった。建築学生のアルマディは、ビレの寸法を計算するための理論モデルを導き出した後、ドモコス氏によると、片側を「非常に重い素材、軽い部分はほぼ空気、そしてほぼ空っぽの骨組み」で作るという構造物の構築を先導した。チームは骨組みにはカーボンチューブ、土台には鋼鉄の2倍の重さがある高密度のタングステンカーバイド合金を採用した。
それでも、問題が残りました。何らかの理由で、Bille は意図した側ではなく、2 つの異なる側に着地し続けました。
「それで見てみると、片方の端に小さな接着剤の塊がくっついていたんです！」ドモコスは叫んだ。主任技師は問題ないと断言したにもかかわらず、ドモコスはその小さな接着剤の塊を取り除くことを主張した。その接着剤の密度と形状も、驚くほど正確に計算されていたのだ。
そして、ほら、ビレは数学の歴史を築いたのです。
とはいえ、エンジニアたちはこれを実現する上で大きな役割を果たしたとドモコス氏は明言した。「彼らはすべて創造プロセスに関わっていました。幾何学、エンジニアリング、そして技術設計。すべてがうまく噛み合う必要がありました。どれか一つでも欠けたら、何も機能しません。」
Billeが単なる失敗作に終わらないよう、ドモコス氏のチームは2つ目のモデルの開発に成功した。もっとも、これはおそらく自宅で簡単に作れるものではないだろう。「誰かに作ってもらうなら幸運を祈るよ」とドモコス氏は冗談めかして言った。「でも、今作ってくれる人は、私たちに比べて大きなアドバンテージを持っている。だって、うまくいくかどうか分からなかったんだから」
ドモコス氏は、ビレが将来どうなるのかを特に楽しみにしている。ドモコス氏がビレのモデリングだけにとどまらず、ゴンボックの存在を知った理由の一つは、ゴンボックの存在だったと彼は説明する。多くの美しい数学的ブレークスルーと同様に、ゴンボックは芸術界や自然科学者から大きな注目を集め、カメの甲羅とゴンボックの類似点を指摘された。これはドモコス氏もほぼ予想していたことだ。
彼が予想していなかったのは、MITやハーバード大学と共同でノボ ノルディスクが、胃の中に入ると自動的に 元に戻り、針で注射する必要がなくなるインスリン カプセルというゴンボックの設計原理に興味を示したことだ。
「まるでSFみたいで、突飛な話に聞こえました」とドモコスは言った。「ゴンボックは、物理的な物体が重要だと教えてくれました。数学的な才能がない優秀な人でも、何かを見て、それが頭の中で様々なことを映し出すことができるんです。」
それでも、ビレが最新の月面着陸船の設計図に採用されるまでには、おそらくしばらく時間がかかるだろう。ドモコス氏も、それが極めて困難な課題であることは承知している。「何かを開発するには、待たなければなりません。技術革新が追いつくまでには100年かかることもあれば、10年かかることもあります。数学は常に少し先を行くのです。」
