3月に、数学者グループが「帽子」と呼ばれる13角形の形状を特定しました。この形状は、パターンの繰り返しなしに表面をタイル状に敷き詰めることができます。現在、研究者たちは、この形状の奇妙なタイル張り特性を維持しながら、重要な注意事項に対処するために改良を進めています。
この新しいタイプの形状は「スペクター」と呼ばれ、非周期モノタイルとして知られています。これは、単一の形状が並進対称性やパターンの繰り返しなしに表面をタイル張りできることを意味します。有名なペンローズ・タイリングは非周期タイリングの例であり、パターンは非周期的ですが、2つの異なる形状が用いられています。研究者たちがわずか数ヶ月前に発見したハット・タイリングは、技術的には1つの形状を用いていますが、表面をタイル張りするには帽子とその鏡像の両方を用いる必要があり、つまり技術的には2つの形状が必要となります。スペクターは、デビッド・スミス氏とその同僚による新しいプレプリント論文で説明されています。
「平面タイリングにおいて、タイルが反射されるのはごく標準的なことです。しかしながら、非周期的なハットモノタイルでは平面タイリングに反射が必要となることに不満を抱く人もいました」と、共著者のジョセフ・サミュエル・マイヤーズ氏はMastodonに記しています。「今回のプレプリントでは、ヴァンパイア・アインシュタインの初例となるスペクターを紹介します。これは、反射なしで平面タイリングを行う非周期的なモノタイルです。」
スペクタータイリングは、ドイツ語で「一つの石」を意味する「アインシュタイン」という一つの形状のみを用いて、パターンのどの部分も繰り返すことなく、表面を完全にタイリングします。スペクターは帽子のように反射する必要がないため、研究者たちはこの形状を「吸血鬼のアインシュタイン」と名付けました。これは、人型の吸血鬼が鏡に映らないことに由来しています。
この帽子は、8つの凧がそれぞれの辺で繋がった13面体のポリカイト形状で、数学的には「弱カイラル非周期モノタイル」と呼ばれます。つまり、タイルとその反射の両方を用いて、同じパターンを繰り返さずに表面を敷き詰める必要があるのです。スミス氏と共同研究者たちは、直線の辺を持つ14面体を発見しました。この形状も、同じパターンを繰り返さずに表面を敷き詰めるには、やはりその反射が必要です。しかし、14面体の各辺を曲げたところ、スペクトルのみで同じパターンを繰り返さずに表面を敷き詰めることができることが分かり、これを「厳密にカイラルな非周期モノタイル」と呼んでいます。
私たちのほとんどにとって、幽霊の存在は軽視できるものではありませんが、数学者コミュニティにとっては、幾何学における長年の仮説上の難問に答えを与えるものなのです。
