宇宙はどんな形をしているのでしょうか?

周囲の環境を見渡すと、まるで平らな平面に住んでいるように見えるかもしれません。だからこそ、新しい街を地図を使って移動できるのです。地図とは、周囲のすべての場所を示す平らな紙のことです。だからこそ、かつて地球は平らだと信じていた人々がいたのでしょう。しかし、今ではほとんどの人が、それが真実とはかけ離れていることを知っています。

あなたは巨大な球体の表面、まるで地球ほどの大きさのビーチボールに少し凹凸を加えたような場所に住んでいます。球体の表面と平面は、2つの2次元空間として存在し、南北または東西の2方向に歩くことができます。

あなたが住んでいる可能性のある空間は他にどんなものがあるでしょうか？つまり、あなたの周りにある2次元空間は他にどんなものがあるでしょうか？例えば、巨大なドーナツの表面も2次元空間の一つです。

私のような数学者は、幾何学的位相幾何学と呼ばれる分野を通して、あらゆる次元におけるあらゆる可能な空間を研究します。安全なセンサーネットワークの設計、データマイニング、折り紙を使った衛星の展開など、その根底にある言語や考え方は位相幾何学のものである可能性が高いです。

宇宙の形

私たちが住む宇宙を見渡すと、地球の表面が2次元空間に見えるのと同じように、3次元空間のように見えます。しかし、地球と同じように、宇宙全体を見てみると、それはもっと複雑な空間、例えば2次元のビーチボールの表面の巨大な3次元版、あるいはそれよりももっと奇妙な空間である可能性があります。

真ん中に穴が開いた形状。 — ドーナツ（トーラスとも呼ばれる）は、地球の表面のように、2方向に移動できる形状です。YassineMrabet、
Wikimedia Commons経由、CC BY-NC-SA

巨大なビーチボールのような物体の上に住んでいると判断するのに位相幾何学は必要ありませんが、あらゆる二次元空間の可能性を知っていると役に立つことがあります。1世紀以上も前、数学者たちはあらゆる二次元空間の可能性とその多くの性質を解明しました。

過去数十年にわたり、数学者たちはあらゆる3次元空間の可能性について多くのことを学んできました。2次元空間のように完全に理解しているわけではありませんが、多くのことが分かっています。この知識をもとに、物理学者や天文学者は、人々が実際にどのような3次元空間に住んでいるのかを解明しようと試みることができます。

答えは完全には解明されていませんが、興味深く驚くべき可能性は数多く存在します。時間を次元として考えると、選択肢はさらに複雑になります。

これがどのように機能するかを理解するには、宇宙における物体の位置（例えば彗星）を表すには4つの数値が必要であることに注目してください。3つはその位置を表す数値、1つはその位置にある時間を表す数値です。この4つの数値が4次元空間を構成します。

さて、どのような 4D 空間が可能か、そしてどの空間に住んでいるかを検討してみましょう。

高次元におけるトポロジー

この時点では、私たちの宇宙を記述できる想像し得る最高の次元は4次元であるため、4次元を超える空間を考える理由はないように思えるかもしれません。しかし、弦理論と呼ばれる物理学の分野は、宇宙には4次元よりもはるかに多くの次元が存在することを示唆しています。

高次元空間の考え方は、ロボットの動作計画など、実用的な応用も存在します。例えば、倉庫内の工場フロアを移動する3台のロボットの動作を理解しようとしているとします。フロアにグリッドを配置し、各ロボットの位置をグリッド上のx座標とy座標で表すことができます。3台のロボットそれぞれに2つの座標が必要なので、ロボットのあらゆる可能な位置を表すには6つの数値が必要になります。つまり、ロボットの可能な位置を6次元空間として解釈できるのです。

ロボットの数が増えると、空間の次元が増加します。障害物の位置など、他の有用な情報も考慮に入れると、空間はさらに複雑になります。この問題を研究するには、高次元空間を研究する必要があります。

惑星や宇宙船の運動のモデル化から大規模なデータセットの「形状」の理解まで、高次元空間が出現する科学的問題は他にも無数にあります。