数学者が複雑な幾何学問題を解くために用いる、物理的に不可能なベーグル「インポッシベーグル」をご紹介します。しかし、インポッシベーグルをはじめとする数学における「不可能物体」は再現が非常に難しいことで知られており、研究者たちはその数学的可能性を十分に引き出すことができていません。しかし、新しいツールのおかげで、この問題はもはや解決されるかもしれません。
月曜日、MITコンピュータ科学・人工知能研究所（CSAIL）の研究者らは、「Meschers 」を発表しました。これは、あり得ない物体を複雑な2.5次元表現で視覚化できるソフトウェアです。研究者らによると、Meschersは見た目に奇抜な物体を作成するだけでなく、最終的には幾何学、熱力学、さらには芸術や建築といった分野の研究にも役立つ可能性があるとのことです。ACM Transactions on Graphicsに掲載予定のこの論文は、来週開催されるSIGGRAPHカンファレンスで発表されます。
「不可能物体とは、現実には存在できず、私たちの知覚の中にのみ存在する構造物です」と、本研究の筆頭著者でMITの博士課程学生であるアナ・ドディック氏はギズモードへのメールで述べた。「私たちの視覚システムはある程度それらを理解できるものの、曲げたり切ったりしなければ現実には存在できないという点が興味深いのです。」
メッシャーズ（「メッシュ」とアーティストのMCエッシャーを組み合わせた造語）は、「私たちの知覚と一致し、3Dではないにもかかわらず、慣れ親しんだ「3D」処理操作を実行できる」不可能な形状を表現する方法を提供していると彼女は説明した。
このプログラムのために、ドディック氏と同僚たちは微積分学と人間の視覚システムの特定の側面を融合させました。例えば、ペンローズの三角形のようなあり得ない物体を見るとき、私たちの目は「局所的一貫性」と呼ばれるもの、つまり、この矛盾した形状の中で私たちにとって「意味を成す」部分を探します。ペンローズの三角形の場合、その部分は3つのL字型の角です。これらの部分は個別には意味を成しますが、それらを全体として一貫した形状として繋げようとすると、物事はうまく噛み合いません。
そのため、現実世界では不可能な物体を再現するには、物体を切断したり曲げたりする必要があるとドディック氏は述べた。研究者らによると、計算上の問題として、このことが「距離計算などの幾何学的演算」に支障をきたす可能性があるという。メッシャーズ氏は、この複雑さに対処するため、全体的スケールでの一貫性要件を大幅に緩和した。代わりに、このプログラムは物体の局所的に一貫性のある部分的な複製に焦点を当てている。
このプログラムは様々な照明条件にも対応しており、これらのオブジェクトのあり得ない奥行きを計算レンダリングでどれだけ正確に表現できるかに影響を与える可能性があります。論文によると、結果として得られる形状は「様々な古典的な幾何学処理アルゴリズム…私たちの知覚的直感と一致する形で」十分なものとなっています。
例えば、インポッシベーゲルは、幾何学研究者が不可解な面上の2点間の距離を計算するのに理想的な構造です。あるいは、曲面上で熱がどのように伝わるかを調べるのにも使えます。Meschersでは、トーラス（ドーナツのような形状）をペンローズ三角形に変形するなど、不可能な物体を逆順にレンダリングすることも可能で、アーティストや建築家が独自の目的のためにこれらの特異な形状を自由に操ることができます。
おそらく最も重要なのは、楽しくかつ洞察力に富んだ数学の学習方法だということです。そして、この研究の主任著者であるジャスティン・ソロモン氏がギズモードに語ったように、コーヒーマグを飾るのにも最適です。「MITの私たちの研究グループは幾何データ処理（GDP）グループなので、チームメンバー全員のコーヒーマグにこの画像を印刷してもらいました」と彼は言います。「私たちのグループにぴったりのロゴです！」
Meschersは公開リソースであり、コードもまもなく公開される予定だと研究者らは述べています。つまり、あなたもすぐにインポッシベーグルを自分で作れるようになるのです。食べるためではなく、脳の数学的な部分を刺激するために！
